已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.
(I)  (II)

試題分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a2=b2+c2，解出a即可.
(II)設A（x1，y1），B(x2，y2)，直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓中，得到關于x的一元二次方程，由判別式求出k的取值范圍，和用k表示的x1+x2，x1x2的表達式，然后分以O或A或B為直角頂點，根據(jù)向量垂直的坐標表示的充要條件列出關于k的方程，求解即可.
試題解析：(Ⅰ)  ，所以橢圓方程為 
(Ⅱ)由已知直線AB的斜率存在,設AB的方程為: 
由   得 
,得:,即 
設,  
(1)若為直角頂點,則 ,即 ,
,所以上式可整理得,
,解,得,滿足 
(2)若為直角頂點,不妨設以為直角頂點,,則滿足:
,解得,代入橢圓方程,整理得, 
解得,,滿足 
時,三角形為直角三角形  
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2) ，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，直線與線段、分別交于點、.

（1）當時，求以為焦點，且過中點的橢圓的標準方程；
（2）過點作直線交于點，記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上；
②圓是否恒過異于點的一個定點?若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：（）上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為，左、右焦點分別為，，點是右準線上任意一點，過作直 線的垂線交橢圓于點．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）點的縱坐標為3，過作動直線與橢圓交于兩個不同點，在線段上取點，滿足，試證明點恒在一定直線上．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的對稱中心為坐標原點，上焦點為，離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設為軸上的動點，過點作直線與直線垂直，試探究直線與橢圓的位置關系.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．
（1）求拋物線和橢圓的標準方程；
（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，則
是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓E：＋＝1（a＞b＞0）的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為（   ）
A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知是雙曲線的兩個頂點，點是雙曲線上異于的一點，連接（為坐標原點）交橢圓于點，如果設直線的斜率分別為，且，假設，則的值為（  ）
A．1B．C．2D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：過點，上、下焦點分別為、，
向量．直線與橢圓交于兩點，線段中點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的方程；
（3）記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為，若曲線
與區(qū)域有公共點，試求的最小值．

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