【題目】已知函數(shù) .

(1)當時,討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當時,求證:函數(shù)有兩個不相等的零點 ,且.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】試題分析:(1)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間即解導數(shù)大于零求得增區(qū)間,導數(shù)小于零求得減區(qū)間(2)函數(shù)有兩個不同的零點,先分析函數(shù)單調(diào)性得零點所在的區(qū)間, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∵ , ,∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).

不妨設(shè), ,要證,即證, 上是增函數(shù),故,且,即證. 由,得

, ,得上單調(diào)遞減,∴,且∴ ,∴,即∴,故得證

解析:(1)當時, ,得,

,得.

時, ,所以,故上單調(diào)遞減;

時, , ,所以,故上單調(diào)遞增;

時, , ,所以,故上單調(diào)遞減;

所以, 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

(2)證明:由題意得,其中,

,由,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

, ,

∴函數(shù)有兩個不同的零點,且一個在內(nèi),另一個在內(nèi).

不妨設(shè), ,

要證,即證,

因為,且上是增函數(shù),

所以,且,即證.

,得

, ,

.

,∴, ,

時, ,即上單調(diào)遞減,

,且∴, ,

,即∴,故得證.

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,設(shè)直線的極坐標方程為.

(1)求曲線和直線的普通方程;

(2)設(shè)為曲線上任意一點,求點到直線的距離的最值.

【答案】(1) ;(2)最大值為,最小值為

【解析】試題分析:(1)根據(jù)參數(shù)方程和極坐標化普通方程化法即易得結(jié)論的普通方程為;直線的普通方程為.(2)求點到線距離問題可借助參數(shù)方程,利用三角函數(shù)最值法求解即可故設(shè) .即可得出最值

解析:(1)根據(jù)題意,由,得, ,

,得,

的普通方程為;

,

故直線的普通方程為.

(2)由于為曲線上任意一點,設(shè),

由點到直線的距離公式得,點到直線的距離為

.

,

,即 ,

故點到直線的距離的最大值為,最小值為.

練習冊系列答案
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【答案】

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型】填空
結(jié)束】
17

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