已知函數(shù)f(x)=
2x-12x+1

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
（2）當(dāng)f（x）＜a恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，再利用單調(diào)性的定義，按照取值、作差、變形、定號下結(jié)論的步驟進(jìn)行正面；
（2）將函數(shù)整理為f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，從而可求出函數(shù)的值域，進(jìn)而可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
的定義域?yàn)镽，
函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
設(shè)x1，x2是R內(nèi)任意兩個(gè)值，并且x1＜x2
則f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+2
-
2x2-1
2x2+1
=
(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
…（5分）
∵x1＜x2∴2x1＜2x2
∴f(x1)-f(x2)=
2(2x1=-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
＜0．
即∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函數(shù)．…（7分）
（2）f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1

∵2x＞0∴2x+1＞1
∴0＞
2
1+2x
＜2，
∴-2＜
2
1+2x
＜0，
∴-1＜1-
2
1+2x
＜1
即-1＜f（x）＜1…（10分）
當(dāng)f（x）＜a恒成立時(shí)，a≥1…（12分）
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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