Question

如圖所示，在棱長為2的正方體AC₁中，點P、Q分別在棱BC、CD上，滿足B₁Q⊥D₁P，且．
（1）試確定P、Q兩點的位置．
（2）求二面角C₁-PQ-A大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)，利用，得出關(guān)于a的方程并求解即可．
（2）分別求出平面C₁PQ、面APQ的一個法向量，利用兩向量夾角求二面角C₁-PQ-A大�。�
解答：解：（1）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)，
則，B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），，，
∵B₁Q⊥D₁P，
∴，
∴，
解得a=1…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分別為BCCD中點…（5分）
（2）設(shè)平面C₁PQ的法向量為，
∵，
又，
∴，
令c=-1，則a=b=2，…（8分）
∵為面APQ的一個法向量，
∴，而二面角為鈍角
故余弦值為…（10分）
點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．