Question

（2012•虹口區(qū)三模）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥B₁E；
（Ⅱ）求三棱錐VB1-EFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥平面BB₁D₁D，再由線面垂直的性質(zhì)證明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答：解：（I）E、F分別為D₁D，DB的中點(diǎn)，
則CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥B₁E
（II）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，B1E=

B1D12+D1E2

=

12+(2 2 )2

=3
∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

•S△B1EF•CF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理及公式，本題是立體幾何中的常規(guī)題題型，難度不大，計(jì)算麻煩．