定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù);
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若m>0,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.
【答案】分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),易知f(x)在(-∞,0)上遞減,有f(x)>f(0)=3,再有給出的定義判斷;
(2)由函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),結(jié)合定義則有|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立,再轉(zhuǎn)化為在[0,+∞)上恒成立即可;
(3)據(jù)題意先研究函數(shù)g(x)在[0,1]上的單調(diào)性,確定函數(shù)g(x)的范圍,即分別求的最大值和最小值,根據(jù)上界的定義,T(m)不小于最大值,從而解決.
解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),
因?yàn)閒(x)在(-∞,0)上遞減,所以f(x)>f(0)=3,
即f(x)在(-∞,1)的值域?yàn)椋?,+∞)故不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|≤M成立
所以函數(shù)f(x)在(-∞,1)上不是有界函數(shù).(4分)
(2)由題意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立.(5分)
-3≤f(x)≤3,
在[0,+∞)上恒成立(6)
(7分)
設(shè)2x=t,,,由x∈[0,+∞)得t≥1,
設(shè)1≤t1<t2,
所以h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增,(9分)
h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5,1].(10分)
(3),
∵m>0,x∈[0,1]
∴g(x)在[0,1]上遞減,(12分)
∴g(1)≤g(x)≤g(0)即(13分)
①當(dāng),即時(shí),,(12分)
此時(shí),(14分)
②當(dāng),即時(shí),,
此時(shí),
綜上所述,當(dāng)時(shí),T(m)的取值范圍是
當(dāng)時(shí),T(m)的取值范圍是[,+∞)(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查情境題的解法,在解決中要通過(guò)給出的條件轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)和方法去解決,本題主要體現(xiàn)了定義法,恒成立和最值等問(wèn)題,綜合性強(qiáng),要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中要有恒心和毅力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.
已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)值域并說(shuō)明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù)?
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界,已知函數(shù)f(x)=1+x+ax2
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),并說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在x∈[1,4]上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知m>-1,函數(shù)g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于定義在D上的函數(shù)f(x),若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2,使得對(duì)任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,則稱函數(shù)f(x)(x∈D)有一個(gè)寬度為d的通道.給出下列函數(shù):①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在區(qū)間[1,+∞)上通道寬度可以為1的函數(shù)有( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如右圖所示,定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對(duì)?x∈D,常數(shù)A,都有f(x)≥A成立,則稱函數(shù)f(x)在D上有下界,其中A稱為函數(shù)的下界.(提示:圖中的常數(shù)A可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零)
(1)試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并說(shuō)明理由;
(2)已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案