【題目】已知集合.若為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的個(gè)元素，求的最大值.

【答案】6

【解析】

（1）顯然，、、、、

、 這六個(gè)數(shù)在集合中，且構(gòu)成等差數(shù)列.

（2）用反證法證明：集合中任意七個(gè)不同的數(shù)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

設(shè)為集合中構(gòu)成等差數(shù)列的7個(gè)不同的元素，其公差為.

由集合中元素的特性，知集合中任意一個(gè)元素均不是7的倍數(shù).

于是，由抽屜原理，知這七個(gè)數(shù)中存在兩個(gè)數(shù)，它們被7除的余數(shù)相同，其差能被7整除.

不妨設(shè)能被7整除.則.

記，設(shè)，

其中，、、 為不超過6的正整數(shù).

則 ，其中，.

由，，

知 ，即公差只能為.

因?yàn)?/span>，且，所以，除以7后的余數(shù)各不相同，分別為1,2，…，6中的一個(gè).

因此，存在，使得能被7整除.

設(shè) .則

.

于是，的七進(jìn)制表示中，7的系數(shù)（即從左到右第2位）為0，與 矛盾.

從而，集合 中任意七個(gè)不同的數(shù)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.

因此，的最大值為6.

練習(xí)冊系列答案
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（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面所成二面角的余弦值.

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