Question

9．已知橢圓：C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，點M（0，$\frac{1}{2}$）．
（1）設P是橢圓C上任意的一點，Q是點P關于坐標原點的對稱點，記λ=$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$，求λ的取值范圍；
（2）已知點D（-1，-$\frac{1}{2}$），E（1，-$\frac{1}{2}$），P是橢圓C上在第一象限內的點，記l為經(jīng)過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得的線段長，試將s表示成直線l的斜率k的函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），$\overrightarrow{MP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MQ}$=$（-{x}_{0}，-{y}_{0}-\frac{1}{2}）$．利用數(shù)量積運算性質及其${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$，又${x}_{0}^{2}$∈[0，9]，即可得出．
（2）由P是橢圓C上在第一象限內的點，則l的斜率k∈（0，+∞），且l：y=kx．當k∈$（0，\frac{1}{2}]$時，△DFM截直線l所得的線段的兩個端點分別是直線l：y=kx與直線DM，EM的交點為A，B，由已知DM：y=x+$\frac{1}{2}$，EM：y=-x+$\frac{1}{2}$，聯(lián)立方程組可得直線的交點，利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）設P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），$\overrightarrow{MP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MQ}$=$（-{x}_{0}，-{y}_{0}-\frac{1}{2}）$．
∴λ=$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$-{x}_{0}^{2}$-${y}_{0}^{2}$+$\frac{1}{4}$，又${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$，
∴$λ=-\frac{8{x}_{0}^{2}}{9}$-$\frac{3}{4}$，又${x}_{0}^{2}$∈[0，9]，∴λ∈$[-\frac{35}{4}，-\frac{3}{4}]$．
（2）∵P是橢圓C上在第一象限內的點，則l的斜率k∈（0，+∞），且l：y=kx．
當k∈$（0，\frac{1}{2}]$時，△DFM截直線l所得的線段的兩個端點分別是直線l：y=kx與直線DM，EM的交點為A，B，由已知DM：y=x+$\frac{1}{2}$，EM：y=-x+$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{1}{2（k-1）}，\frac{k}{2（k-1）}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{1}{2（k+1）}，\frac{k}{2（k+1）}）$，
于是s=|AB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x_A-x_B|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{1}{1-{k}^{2}}$；
當k∈$（\frac{1}{2}，+∞）$時，△DEM截直線l所得的線段的兩個端點分別是直線l：y=kx與直線DE，EM的交點G，B，由已知DE：y=-$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得G$（-\frac{1}{2k}，-\frac{1}{2}）$，
于是s=s（k）=|GB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$$•\frac{2k+1}{2k（k+1）}$．
綜上所述，s=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{1}{1-{k}^{2}}，k∈（0，\frac{1}{2}]}\\{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{2k+1}{2k（k+1）}，k∈（\frac{1}{2}，+∞）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、方程組與直線的交點、兩點之間的距離公式、數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．