Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₃+1，a₄+4成等比，分別是等比數(shù)列{b_n}的第1項，第2項，第3項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*均有

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

=b_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得（2+2d）²=（1+d）（5+3d），由此求出a_n=n，從而b₁=2，b₂=4，進而求出b_n=2ⁿ．
（2）n=1時，

c1

a1

=b1，解得c₁=2，n≥2時，（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

）-（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn-1

an-1

）=b_n-b_n-1=2^n-1，從而得到c_n=n•2^n-1，由此利用錯位相減法能求出c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₃+1，a₄+4成等比數(shù)列，
∴（2+2d）²=（1+d）（5+3d），
解得d=-1（舍）或d=1，
∴a_n=n，
又b₁=2，b₂=4，∴b_n=2ⁿ．
（2）n=1時，

c1

a1

=b1，解得c₁=2，
n≥2時，（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn

an

）-（

c1

a1

+

c2

a2

+…+

cn-1

an-1

）=b_n-b_n-1=2^n-1，
∴c_n=n•2^n-1，
令T_n=c₁+c₂+…+c_n=2+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
則2T_n=2•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
②-①，得：T_n=-2-（2²+2³+…+2^n-1）+n•2ⁿ
=-2-2ⁿ+4+n•2ⁿ=2+（n-1）•2ⁿ．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．