Question

若函數(shù)f（x）是定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間I上的增函數(shù)，且F（x）=

f(x)

x

在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）是I上的“非完美增函數(shù)”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x+

2

x

+alnx（a∈R）
（1）判斷f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函數(shù)”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）依據(jù)“非完美增函數(shù)”的定義判斷即可；
（2）由題意可得g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，G（x）=

g(x)

x

=2+

2

x2

+

alnx

x

在[1，+∞）上是減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函數(shù)，且F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，
∵F′（x）=

1-lnx

x2

，∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，
∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函數(shù)”；
（2）∵g（x）=2x+

2

x

+alnx，
∴g′（x）=2-

2

x2

+

a

x

=

2x2+ax-2

x2

，
∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函數(shù)”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，
又G（x）=

g(x)

x

=2+

2

x2

+

alnx

x

在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-

4

x3

+

a(1-lnx)

x2

≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，
令p（x）=ax-axlnx-4，則p′（x）=-alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），
∴p（x）=ax-axlnx-4在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴p（x）_max=p（1）=a-4≤0，解得：a≤4；
綜上所述0≤a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決新問(wèn)題的能力．