Question

已知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為橢圓C的焦點，且橢圓C過點P（1，

3

2

）
（1）求橢圓的方程
（2）過點F₁的直線l交橢圓于A，B兩點，求△ABF₂的面積S的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）當PQ與x軸垂直時，tan∠F1PF2=

4

3

，可得a=2c，結合

a2

c

=4，求出a，b，c，即可求出橢圓的方程；
（2）設過F₁的直線：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

，由韋達定理即可用m表示出S△ABF2，換元后根據(jù)函數(shù)單調性即可求得面積的最大值及此時m值．

解答： 解：（1）當PQ與x軸垂直時，tan∠F1PF2=

4

3

得tan∠F1PF2=

2c

b2 a

=

4

3

，得

ac

b2

=

2

3

即a=2c--------------（2分）
又

a2

c

=4解得c=1，a=2，b=

3

故所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設過F₁的直線：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3m²+4）y²-6my-9=0
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=

-9

3m2+4

，
∴|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

，
令t=

m2+1

，則t≥1，S△ABF2=

12

3t+ 1 t

，
又(3t+

1

t

)′=3-

1

t2

＞0，
∴3t+

1

t

遞增，∴(3t+

1

t

)_min=3×1+1=4，當t=1即m=0時取等號，
∴S△ABF2≤

12

4

=3，
當m=0時，面積S最大為3，此時直線方程為x=-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想在解決問題中的應用，屬中檔題．