Question

已知點(diǎn)M是圓心為C₁的圓（x-1）²+y²=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C₂（1，0），若線段MC₂的中垂線交MC₁于點(diǎn)N．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+t是圓x²+y²=1的切線且l與N 點(diǎn)軌跡交于不同的兩點(diǎn)P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OP

•

OQ

=μ且

2

3

≤u≤

4

5

，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的定義，可得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)，以2

2

為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，即可求出動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；
（2）利用韋達(dá)定理確定|PQ|的范圍，即可求出△OPQ面積的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得|MN|=|NC₂|，則|NC₁|+|NC₂|=|NC₁|+|MN|=2

2

＞|C₁C₂|=2，
故動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C₁，C₂為焦點(diǎn)，以2

2

為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，a=

2

，c=1，b²=1，
動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為

x2

2

+y²=1；

（2）∵直線l：y=kx+t是圓x²+y²=1的切線，
∴

|t|

1+k2

=1，
∴t²=k²+1，
直線l：y=kx+t代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則△=8k²＞0可得k≠0．
∴x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x₁x₂=

2t2-2

1+2k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=

t2-2k2

1+2k2

，
∵t²=k²+1，
∴x₁x₂=

2k2

1+2k2

，y₁y₂=

1-k2

1+2k2

，
∴

OP

•

OQ

=μ=x₁x₂+y₁y₂=

1+k2

1+2k2

，
∵

2

3

≤μ≤

4

5

，
∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

4

5

，
∴

1

3

≤k²≤1，
∵|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

令λ=k⁴+k²，
∵

1

3

≤k²≤1
∴λ∈[

4

9

，2]．
|PQ|=2•

2λ 4λ+1

=2•

1 2 - 1 2(4λ+1)

在[

4

9

，2]上單調(diào)遞增，
∴

4 2

5

≤|PQ|≤

4

3

，
∵直線PQ是圓x²+y²=1的切線，
∴O到PQ的距離為1，
∴S_△OPQ=

1

2

|PQ|，即

2 5

5

≤

1

2

|PQ|≤

2

3

]．
故△OPQ面積的取值范圍是[

2 5

5

，

2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義域方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．