Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為， 也是拋物線的焦點，點為與在第一象限的交點，且.

（1）求的方程；

（2）平面上的點滿足，直線，且與交于兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），或.

【解析】試題分析：（1）由拋物線定義確定M點坐標，代人橢圓方程，再結合焦點坐標，列方程組解得（2）由，直線，得與的斜率相同，再根據，得.設直線方程.并與橢圓方程聯立，結合韋達定理代人化簡可得m值

試題解析：（1）由知，

設， 在上，因為，所以，

得.

在上，且橢圓的半焦距，于是

消去并整理得，

解得 (不合題意，舍去).

故橢圓的方程為.

（2）由知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標原點.

因為，所以與的斜率相同，

故的斜率.

設的方程為.

由消去并化簡得，

設， .

因為，所以.

.

所以.

此時，

故所求直線的方程為，或.