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【題目】已知拋物線的焦點為,直線,過點且與拋物線分別交于點和點,弦的中點分別為,若,則下列結論正確的是

______________

的最小值為32

②以四點為頂點的四邊形的面積的最小值為128

③直線過定點

④焦點可以同時為弦的三等分點

【答案】①②③

【解析】

依題意得直線的斜率均存在,設,直線,把直線方程和拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理和拋物線的定義分別求出的表達式,利用基本不等式求最值即可判斷①;求出四邊形面積的表達式,利用基本不等式求最值即可判斷②;表示出坐標,進而得到直線的方程即可判斷③;假設點為弦的三等分點,不妨設,利用平面向量的坐標表示進行求解,根據能否推出矛盾判斷④即可.

依題意得直線的斜率均存在,且,

,,直線

聯(lián)立方程,整理可得

所以,則,

因為,以代替可得,,

所以,

當且僅當時取等號,所以①正確;

因為,所以四邊形的面積,

當且僅當時取等號,所以②正確;

因為,,

所以直線的方程為

,恒過定點,故③正確;

若點為弦的三等分點,不妨設,

,所以,

,又,

解得(舍去),或,

代入,得,與兩直線垂直矛盾,故④錯誤.

故答案為:①②③

練習冊系列答案
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【題目】某校為了解學生對消防安全知識的掌握情況,開展了網上消防安全知識有獎競賽活動,并對參加活動的男生、女生各隨機抽取20人,統(tǒng)計答題成績,分別制成如下頻率分布直方圖和莖葉圖:

1)把成績在80分以上(含80分)的同學稱為“安全通”.根據以上數據,完成以下列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為是否是“安全通”與性別有關

男生

女生

合計

安全通

非安全通

合計

2)以樣本的頻率估計總體的概率,現從該校隨機抽取22女,設其中“安全通”的人數為,求的分布列與數學期望.

附:參考公式,其中.

參考數據:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】(2018·湖南師大附中摸底)已知直線l經過點P(-4,-3),且被圓(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦長為8,則直線l的方程是________

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【題目】一帶一路絲綢之路經濟帶“21世紀海上絲綢之路的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系,共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.2013年以來,一帶一路建設成果顯著下圖是2013-2017年,我國對一帶一路沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖,下列描述正確的是( .

A.這五年,2013年出口額最少

B.這五年,出口總額比進口總額多

C.這五年,出口增速前四年逐年下降

D.這五年,2017年進口增速最快

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【題目】現有四個函數yx|sinx|,yxcos|x|,yxln|x|的部分圖象如下,但順序被打亂,則按照圖象從左到右的順序,對應的函數序號正確的一組是( )

A.①④②③B.①④③②C.③②④①D.③④②①

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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數方程為為參數),曲線的參數方程為為參數),曲線軸交于兩點.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.

1)求直線的普通方程及曲線的極坐標方程;

2)若直線與曲線在第一象限交于點,且線段的中點為,點在曲線上,求的最小值.

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【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:

比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.

1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;

2)如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000,即勝利者贏得對方1000,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數學期望.

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【題目】已知函數為自然對數的底數).

1)求函數的零點,以及曲線在其零點處的切線方程;

2)若方程有兩個實數根,求證:.

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【題目】從2017年1月18日開始,支付寶用戶可以通過“掃‘福’字”和“參與螞蟻森林”兩種方式獲得?ǎ◥蹏、富強福、和諧福、友善福、敬業(yè)福),除夕夜22:18,每一位提前集齊五福的用戶都將獲得一份現金紅包.某高校一個社團在年后開學后隨機調查了80位該校在讀大學生,就除夕夜22:18之前是否集齊五福進行了一次調查(若未參與集五福的活動,則也等同于未集齊五福),得到具體數據如下表:

合計

30

10

40

35

5

40

合計

65

15

80

(1)根據如上的列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認為“集齊五福與性別有關”?

(2)計算這80位大學生集齊五福的頻率,并據此估算該校10000名在讀大學生中集齊五福的人數;

(3)為了解集齊五福的大學生明年是否愿意繼續(xù)參加集五;顒,該大學的學生會從集齊五福的學生中,選取2位男生和3位女生逐個進行采訪,最后再隨機選取3次采訪記錄放到該大學的官方網站上,求最后被選取的3次采訪對象中至少有一位男生的概率.

參考公式: .

附表:

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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