【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn , 點(diǎn)(n, )在直線y= x+ 上.?dāng)?shù)列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=11,前9項(xiàng)和為153.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn
(3)設(shè)n∈N* , f(n)= 問是否存在m∈N* , 使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:∵點(diǎn)(n, )在直線y= x+ 上,
∴ = n+ ,
即Sn= n2+ n,
所以a1=6,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=n+5.
且a1=6也適合,
所以an=n+5
∵bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N*),
∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn=…=b2﹣b1.
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,
∵b3=11,它的前9項(xiàng)和為153,
設(shè)公差為d,則b1+2d=11,9b1+ ×d=153,
解得b1=5,d=3.
∴bn=3n+2
(2)解:令 ,
∴ ,
,
則 ,
∴
(3)解:當(dāng)n∈N*,f(n)= =
當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),m+15為偶數(shù),則有3(m+15)+2=5(m+5),解得m=11
當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),m+15為奇數(shù).若f(m+15)=5f(m)成立,m+15+5=5(3m+2),此時(shí)不成立
所以當(dāng)m=11時(shí),f(m+15)=5f(m)
【解析】(1)由題意可得Sn= n2+ n,解可求出通項(xiàng)可求an;由bn+2﹣2bn+1+bn=0bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn , 從而可得數(shù)列bn為等差數(shù)列,結(jié)合題中所給條件可求公差d,首項(xiàng)b1 , 進(jìn)一步可求數(shù)列的通項(xiàng).(2)由(I)可知數(shù)列 分別為等差、等比數(shù)列,對(duì)數(shù)列求和用錯(cuò)位相減,(3)當(dāng)n∈N* , f(n)= = ,分類討論即可求出m的值.
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ,求線段AM的長.
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【題目】(1)若函數(shù)的圖象在處的切線垂直于直線,求實(shí)數(shù)的值及直線的方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,求證: .
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為且經(jīng)過點(diǎn),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若直線與曲線有公共點(diǎn),求的取值范圍;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】某機(jī)床廠今年初用98萬元購進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床,并立即投入使用,計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元,從第二年開始,每年的維修、保養(yǎng)修費(fèi)用比上一年增加4萬元,該機(jī)床使用后,每年的總收入為50萬元,設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利總額y元.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)從第幾年開始,該機(jī)床開始盈利?
(3)使用若干年后,對(duì)機(jī)床的處理有兩種方案:①當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí),以30萬元價(jià)格處理該機(jī)床;②當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí),以12萬元價(jià)格處理該機(jī)床.問哪種方案處理較為合理?請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知,有下列4個(gè)命題:
①若,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
②與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
③若為偶函數(shù),且,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
④若為奇函數(shù),且,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
其中正確的命題為 .(填序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的正整數(shù)n,都有Sn=an+n﹣3成立.
(Ⅰ)求證:{an﹣1}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.
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【題目】某班20名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績可繪制成如下莖葉圖,由于其中部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失,故打算根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)全班同學(xué)的平均成績.
(1)完成頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)(1)中的頻率分布直方圖估計(jì)全班同學(xué)的平均成績 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)設(shè)根據(jù)莖葉圖計(jì)算出的全班的平均成績?yōu)?/span>,并假設(shè),且各自取得每一個(gè)可能值的機(jī)會(huì)相等,在(2)的條件下,求概率.
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【題目】北京市的士收費(fèi)辦法如下:不超過2公里收7元(即起步價(jià)7元),超過2公里的里程每公里收2.6元,另每車次超過2公里收燃油附加費(fèi)1元(不考慮其他因素).相應(yīng)收費(fèi)系統(tǒng)的流程圖如圖所示,則①處應(yīng)填( )
A.y=7+2.6x
B.y=8+2.6x
C.y=7+2.6(x﹣2)
D.y=8+2.6(x﹣2)
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