Question

如圖3-2，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米.現(xiàn)要在AB上某一點D處向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3∶5.為了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最少，D點應(yīng)選在何處?

   

Answer 1

思路分析：據(jù)題設(shè)知，單位距離的公路運費大于鐵路運費，又知|BD|+|DC|≤|BA|+|AC|，因此只有點D選在線段BA上某一適當位置，才能使總運費最省.若設(shè)D點距A點x千米，從B到C的總動費為y，建立y與x的函數(shù)，則通過函數(shù)y=f(x)的最小值，可確定點D的位置.

    解：設(shè)|DA|=x(千米)，鐵路每噸千米運費3a，公路每噸千米運費5a，從B到C的總費用為y，則依題意，得

    y=3a(100-x)+5a，x∈(0，100)，

    即=5-3x.

    令t=，則有t+3x=5.

    平方、整理，得16x²-6tx+10000-t²=0.①

    由①36t²-4×16(10000-t²)≥0，得|t|≥80.

    ∵t＞0，∴t≥80.

    將t=80代入方程①，得x=15，這時t最小，y也最小.

    故當D點選在距A點15千米處時，總運費最省.