【題目】已知正方形ABCD,E,F分別為ABCD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.

1)證明:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上;

2)求角的正弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

1)過(guò)點(diǎn)平面,垂足為,連接,.證明的垂直平分線上,則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上,

2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,所在直線為軸,過(guò)點(diǎn)作平行于的向量為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值.

1)證明:過(guò)點(diǎn)AAG⊥平面BCDE,垂足為G,連接GC,GD.

因?yàn)椤?/span>ACD為等邊三角形,所以AC=AD,所以點(diǎn)GCD的垂直平分線上.

又因?yàn)?/span>EFCD的垂直平線,所以點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF.

另證:過(guò)點(diǎn)AAGEF,再證AGCD,從而證得AG⊥平面BCDE,

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF

2)解:以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GA所在直線為z軸,GF所在直線為y軸,過(guò)點(diǎn)G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,連接AF

,,

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則

,得,又平面的一個(gè)法向量

所以

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】有以下命題:

若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(x)的值域?yàn)?/span>{0};

若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(|x|)=f(x);

若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則f(x)不存在反函數(shù);

若函數(shù)fx)存在反函數(shù)f1x),且f1x)與fx)不完全相同,則fx)與f1x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上;

其中真命題的序號(hào)是 .(寫出所有真命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中(圖1),,,為線段上的點(diǎn),且.為折線,把翻折,得到如圖2所示的圖形,的中點(diǎn),且,連接.

1)求證:;

2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若定義域均為D的三個(gè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)滿足條件:對(duì)任意x∈D,點(diǎn)(x,g(x)與點(diǎn)(x,h(x)都關(guān)于點(diǎn)(x,f(x)對(duì)稱,則稱h(x)是g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”.已知g(x)=,f(x)=2x+b,h(x)是g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”,且h(x)≥g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知正方形ABCD,EF分別為AB,CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.

1)證明:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上;

2)求角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報(bào)名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過(guò)四個(gè)科目的考試,其中科目二為場(chǎng)地考試.在一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試,就算順利通過(guò),即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒有通過(guò),則需重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若前2次都沒有通過(guò),則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校對(duì)以往2000個(gè)學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到下表:

考試情況

男學(xué)員

女學(xué)員

第1次考科目二人數(shù)

1200

800

第1次通過(guò)科目二人數(shù)

960

600

第1次未通過(guò)科目二人數(shù)

240

200

若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過(guò)科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過(guò)科目二考試的概率,且每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試,在本次報(bào)名中,若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為:通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止.

(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;

(2)若這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過(guò),記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即,,給出下列結(jié)論:

①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直;

②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等;

③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于

④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分;

⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

其中正確結(jié)論的序號(hào)是(

A.②④⑤B.①②④⑤C.①③④D.②③④⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】紋樣是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶,火紋是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個(gè)點(diǎn),己知恰有800個(gè)點(diǎn)落在陰影部分,據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是

A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】業(yè)界稱中國(guó)芯迎來(lái)發(fā)展和投資元年,某芯片企業(yè)準(zhǔn)備研發(fā)一款產(chǎn)品,研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金為AA為常數(shù))元,之后每年會(huì)投入一筆研發(fā)資金,n年后總投入資金記為,經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí),近似地滿足,其中為常數(shù),.已知3年后總投入資金為研發(fā)啟動(dòng)是投入資金的3倍,問(wèn):

1)研發(fā)啟動(dòng)多少年后,總投入資金是研發(fā)啟動(dòng)時(shí)投入資金的8倍;

2)研發(fā)啟動(dòng)后第幾年投入的資金最多?

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