Question

（2011•濱州一模）已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d≠0，且S₅=35，a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a 2n，記該數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)T_n≤n+12時(shí)，求n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差的值，代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)；
（Ⅱ）由（I）求出b_n，再代入T_n，利用分組求和法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，代入T_n≤n+12求出n的范圍，再求出正整數(shù)的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，

5a1+ 5×4 2 d=35 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
（Ⅱ）由已知得，b_n=a2n=2ⁿ⁺¹+1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+n
=

4(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺²+n-4，
若T_n≤n+12，即2ⁿ⁺²+n-4≤n+12，
∴2ⁿ⁺²≤16，即n+2≤4，解得n≤2，
又∵n是正整數(shù)，∴n=1，2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差（等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，性質(zhì)的靈活應(yīng)用，以及分組求和法，屬于中檔題．