Question

（08年天津南開(kāi)區(qū)質(zhì)檢理） （14分）

已知某橢圓的焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且。橢圓上不同的兩點(diǎn)滿足條件：成等差數(shù)列。

（1）求該橢圓的方程；

（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為，求m的取值范圍。

Answer 1

解析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力。

（1）解：由橢圓定義及條件知，得，又

所以，故橢圓方程為（4分）

（2）解：由點(diǎn)B（4，）在橢圓上，得

因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為，離心率為

根據(jù)橢圓定義，有

由成等差數(shù)列，得

由此得出，設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（）

則 （9分）

（3）解：由在橢圓上，得 ①

 ②

①－②得

即

將代入上式，得

由上式得（當(dāng)時(shí)也成立）（11分）

由點(diǎn)P（4，）在弦AC的垂直平分線上，得

所以

由P（4，）在線段BB′（B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱）的內(nèi)部，得，

所以（14分）