Question

如圖，已知直線x+ky-1=0所經過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
i．求證：點M恒在橢圓C上；
ii．求△AMN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用已知條件直接推出，a、c、b的關系，求出幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M．
i．設A（x₀，y₀）、M（x₁，y₁），則B（x₀，-y₀），且

x02

4

+

y02

3

=1，N（4，0）．當x₀=1時，當x₀≠1時，分別利用直線AF，與直線BN，求出交點，交點坐標是否滿足橢圓分即可，證明點M恒在橢圓C上；
ii．聯立直線與橢圓方程，表示出△AMN面積，通過函數的單調性求出三角形的面積最大值．

解答： （Ⅰ）解：由題F（1，0），c=1，a+c=3，∴a=2
則橢圓C為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）�。�證明：設A（x₀，y₀）、M（x₁，y₁），則B（x₀，-y₀），
且

x02

4

+

y02

3

=1，N（4，0）．當x₀=1時，則M與B重合，結論成立．x1=

5x0-8

2x0-5

當x₀≠1時，直線AF：y=

y0

x0-1

(x-1)，直線BN：y=

-y0

x0-4

(x-4)．
解方程組

y= y0 x0-1 (x-1) y= -y0 x0-4 (x-4)

得

x1= 5x0-8 2x0-5 y1= 3y0 2x0-5

∴

x12

4

+

y12

3

=

1

4

•(

5x0-8

2x0-5

)2+

1

3

(

3y0

2x0-5

)2=

1

4

•(

5x0-8

2x0-5

)2+

3×3(1- x02 4 )

(2x0-5)2

=1
則點M在橢圓C

x2

4

+

y2

3

=1上，
綜上知，點M恒在C上．
ⅱ．解：聯立

x+ky-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，消元得：（3k²+4）y²-6ky-9=0
由ⅰ，y0+y1=

6k

3k2+4

，y0y1=

-9

3k2+4

S△AMN=

1

2

|FN|•|y0-y1|=

3

2

(y0+y1)2-4y0y1

=

3

2

( 6k 3k2+4 )2+ 36 3k2+4

=18

k2+1 9k4+24k2+16

=

18

9k4+24k2+16 k2+1

=

18

9(k2+1)+ 1 k2+1 +6

令m=k²+1（m≥1），f(m)=9m+

1

m

  (m≥1)．則f（m）在[1，+∞）為增函數．
∴f（m）≥f（1）=10．
∴S△AMN≤

9

2

，當且僅當m=k²+1=1．
即k=0時S_△AMN取最大值

9

2

．

點評：本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系，考查恒成立問題以及三角形的面積的最值的求法，考查轉化思想以及邏輯推理能力．