Question

求函數(shù)y=3-x2+2x+3的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

根據(jù)題意，函數(shù)的定義域顯然為（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．
∴y=3^u是u的增函數(shù)，
當x=1時，y_max=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3^u≤3⁴，即值域為（0，81]．
（3）當x≤1時，u=f（x）為增函數(shù)，y=3^u是u的增函數(shù)，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]；
其證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂
則

f(x1)

f(x2)

=3-

x

21

+2 x1+3÷3-

x

22

+2x2+3 =3-

x

21

+2 x1 +3+

x

22

-2x2-3=3(

x

22

 -

x

21

) +2 (x1 -x2)=
3(

x

22

 -

x

21

) +2(x1 -x2)=3(x1-x2)  (2-x1-x2) 
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0
∴3(x1-x2)  (x1+x2+2)＜1
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]
當x＞1時，u=f（x）為減函數(shù)，y=3^u是u的增函數(shù)，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）．
證明同上．