Question

在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ） 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差為d．
由已知得：，b₁=3，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
所以或 q=1（舍去），
所以，此時 d=2，
所以，，b_n=2n+1；
（Ⅱ） 由題意得：，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1）+（-1）ⁿ（2n+1）+3+3²+…+3ⁿ，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
當(dāng)n為奇數(shù)時，，
所以，．
分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃及等差、等比數(shù)列的通項公式列關(guān)于q，d的方程組解出即得q，d，再代入通項公式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n=c₁+c₂+…+c_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1）+（-1）ⁿ（2n+1）+3+3²+…+3ⁿ，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可；
點評：本題考查等差、等比數(shù)列的綜合及數(shù)列求和，考查方程思想，若數(shù)列{a_n}等差數(shù)列，則數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前n項和并項法求和，按n為奇數(shù)、偶數(shù)討論．