Question

已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=a+b，則4a+b的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題

分析：由條件ab=a+b變形為（a-1）（b-1）=1得出a、b的取值范圍，再把4a+b中的b用a代換，最后應(yīng)用基本不等式求解．

解答： 解：∵ab=a+b，∴ab-a-b=0，∴ab-a-b+1=1，∴（a-1）（b-1）=1
∴a-1＞0且b-1＞0，∴a＞1、b＞1
由ab=a+b得（a-1）b=a，∴b=

a

a-1

∴4a+b=4a+

a

a-1

=4a+

a-1+1

a-1

=4a+

1

a-1

+1=4（a-1）+

1

a-1

+5
∵a-1＞0
∴4（a-1）+

1

a-1

+5≥2

4(a-1)• 1 a-1

+5=9
當(dāng)且僅當(dāng)4(a-1)=

1

a-1

，即a-1=

1

2

，也即a=

3

2

時(shí)，上述“=”成立
∴4a+b≥9
故答案為：9

點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用基本不等式解題時(shí)要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件；對(duì)于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)式子合理的變形是解題的關(guān)鍵．