已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（0）=1，b=-a-1，解關于x不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）的最小值為0，且a＜b，設
b
a
=t，請把
a+b+c
b-a
表示成關于t的函數(shù)g（t），并求g（t）的最小值．
分析：（1）由題意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，可得f（x）=（x-1）（ax-1）下面由分類討論可得；
（2）由題意可的a＞0且
4ac-b2
4a
=0，易得g（t）=
t2+4t+4
4(t-1)
（t＞1），然后變形為
t-1
4
+
9
4(t-1)
+
3
2
，由基本不等式可得答案．
解答：解：（1）由題意可得f（0）=c=1，又b=-a-1，
所以f（x）=ax2+bx+c=ax2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）．
當a＞1時，不等式的解集為：{x|
1
a
＜x＜1}；
當0＜a＜1時，不等式的解集為：{x|1＜x＜
1
a
}；
當a＜0時，不等式的解集為：{x|x＜
1
a
或x＞1}；
當a=1時，不等式的解集為空集．
（2）因為f（x）的最小值為0，所即b2=4ac
由因為
b
a
=t，故b=at，c=
at2
4
，故
a+b+c
b-a
=
a+at+
at2
4
at-a

=
t2+4t+4
4(t-1)
，又因為a＜b，所以
b
a
=t＞1故g（t）=
t2+4t+4
4(t-1)
（t＞1）
所以g（t）=
t2+4t+4
4(t-1)
=
(t-1)2+6(t-1)+9
4(t-1)
=
t-1
4
+
9
4(t-1)
+
3
2

≥2
t-1
4
•
9
4(t-1)
+
3
2
=3，當且僅當
t-1
4
=
9
4(t-1)
，即t=4時取等號
故g（t）的最小值為3
點評：本題為二次函數(shù)，二次不等式，基本不等式的綜合應用，涉及分類討論的思想，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案