【題目】已知函數(shù)有兩個零點(diǎn).
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)x1,x2是的兩個零點(diǎn),證明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析
【解析】
試題(Ⅰ)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號來確定(主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來分類);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的結(jié)論來證明,由單調(diào)性可知等價于
,即
.設(shè)
,則
.則當(dāng)
時,
,而
,故當(dāng)
時,
.從而
,故
.
試題解析:(Ⅰ).
(Ⅰ)設(shè),則
,
只有一個零點(diǎn).
(Ⅱ)設(shè),則當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.所以
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增.
又,
,取
滿足
且
,則
,
故存在兩個零點(diǎn).
(Ⅲ)設(shè),由
得
或
.
若,則
,故當(dāng)
時,
,因此
在
單調(diào)遞增.又當(dāng)
時
,所以
不存在兩個零點(diǎn).
若,則
,故當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.因此
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增.又當(dāng)
時,
,所以
不存在兩個零點(diǎn).
綜上,的取值范圍為
.
(Ⅱ)不妨設(shè),由(Ⅰ)知
,
,
在
單調(diào)遞減,所以
等價于
,即
.
由于,而
,所以
.
設(shè),則
.
所以當(dāng)時,
,而
,故當(dāng)
時,
.
從而,故
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的長軸長為4,離心率為
,點(diǎn)P在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)M (4,0),點(diǎn)N(0,n),若以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過線段PN的中點(diǎn),求n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代社會的競爭,是人才的競爭,各國、各地區(qū)、各單位都在廣納賢人,以更好更快的促進(jìn)國家、地區(qū)、單位的發(fā)展.某單位進(jìn)行人才選拔考核,該考核共有三輪,每輪都只設(shè)置一個項目問題,能正確解決項目問題者才能進(jìn)入下一輪考核;不能正確解決者即被淘汰.三輪的項目問題都正確解決者即被錄用.已知A選手能正確解決第一、二、三輪的項目問題的概率分別為、
、
,且各項目問題能否正確解決互不影響.
(1)求A選手被淘汰的概率;
(2)設(shè)該選手在選拔中正確解決項目問題的個數(shù)為,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)列,稱
(其中
)為數(shù)列
的前k項“波動均值”.若對任意的
,都有
,則稱數(shù)列
為“趨穩(wěn)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列1,,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求
的取值范圍;
(2)若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比
,求證:
是“趨穩(wěn)數(shù)列”;
(3)已知數(shù)列的首項為1,各項均為整數(shù),前
項的和為
. 且對任意
,都有
, 試計算:
(
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(
,1),且離心率e
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點(diǎn),且滿足∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列滿足
,其中A,B是兩個確定的實數(shù),
(1)若,求
的前n項和;
(2)證明:不是等比數(shù)列;
(3)若,數(shù)列
中除去開始的兩項外,是否還有相等的兩項,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項和為
,
滿足
,且
.正項數(shù)列
滿足
,其前7項和為42.
(1)求數(shù)列和
的通項公式;
(2)令,數(shù)列
的前
項和為
,若對任意正整數(shù)
,都有
,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)將數(shù)列,
的項按照“當(dāng)
為奇數(shù)時,
放在前面;當(dāng)
為偶數(shù)時,
放在前面”的要求進(jìn)行排列,得到一個新的數(shù)列:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,…,求這個新數(shù)列的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知為等邊三角形,
為等腰直角三角形,
.平面
平面ABD,點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè),且
,
.點(diǎn)F為AD中點(diǎn),連接EF.
(1)求證:平面ABC;
(2)求證:平面平面ABD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年9月24日國家統(tǒng)計局在慶祝中華人民共和國成立70周年活動新聞中心舉辦新聞發(fā)布會指出,1952年~2018年,我國GDP查679.1億元躍升至90.03萬億元,實際增長174倍;人均GDP從119元提高到6.46萬元,實際增長70倍.全國各族人民,砥礪奮進(jìn),頑強(qiáng)拼搏,實現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)社會的跨越式發(fā)展.如圖是全國2010年至2018年GDP總量(萬億元)的折線圖.
注:年份代碼1~9分別對應(yīng)年份2010~2018.
(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與年份代碼
的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立關(guān)于
的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2019年全國GDP的總量.
附注:參考數(shù)據(jù):,
,
,
.
參考公式:相關(guān)系數(shù);
回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
,
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