Question

17．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，E，F(xiàn)分別是CC₁，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面AB₁F；
（2）求三棱錐B₁-AEF的體積；
（3）若點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，求|FM|+|MB₁|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出面ABC⊥面BB₁C₁C，從而AF⊥EF，由勾股定理得B₁F⊥EF．由此能證明EF⊥平面AB₁F；
（2）利用等體積法，求三棱錐B₁-AEF的體積；
（3）將側(cè)面AB₁B，沿AB展開為ABO，使得平面ABO與平面ABC共面，利用余弦定理求|FM|+|MB₁|的最小值．

解答 （1）證明：∵F是等腰直角三角形△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥EF．
∵AB=AA₁=2，則B₁F=$\sqrt{6}$，EF=$\sqrt{3}$，B₁E=3，∴B₁F⊥EF．
又AF∩B₁F=F，∴EF⊥平面AB₁F．
（2）解：三棱錐B₁-AEF的體積V=${V}_{A-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=1；
（3）解：將側(cè)面AB₁B，沿AB展開為ABO，使得平面ABO與平面ABC共面，
在△OBF中，BF=$\sqrt{2}$，OB=2，∠OBF=135°，∴OF=$\sqrt{2+4-2×\sqrt{2}×2×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{10}$，
∴|FM|+|MB₁|的最小值為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐B₁-AEF的體積，考查最小值問題，屬于中檔題．