Question

如圖，已知AB為⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q．

求證：PQ²＝AC·BD．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結(jié)PA、PB，如圖， 　　因?yàn)镃D切⊙O于P， 　　所以∠1＝∠2． 　　因?yàn)锳C⊥CD于C，PQ⊥AB于Q， 　　所以∠ACP＝∠PQB＝90°． 　　所以△ACP∽△PQB． 　　所以AC∶PQ＝AP∶PB． 　　同理，△BDP∽△PQA，所以PQ∶BD＝AP∶PB． 　　所以AC∶PQ＝PQ∶BD， 　　即PQ2＝AC·BD． 　　分析：欲證PQ2＝AC·BD，只需證AC∶PQ＝PQ∶BD，圖中沒(méi)有產(chǎn)生比例中項(xiàng)的條件，需要通過(guò)過(guò)渡比來(lái)解決．連結(jié)PA、PB，如圖，利用弦切角定理，得到不相鄰的兩對(duì)直角三角形分別相似．