Question

7．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+2}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸張半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=asinθ．
（Ⅰ）若a=2，求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程；
（Ⅱ）設直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的$\sqrt{2}$倍，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為x+y-2=0，圓C的極坐標方程為ρ²=aρsinθ，即x²+y²=ay，把a=2代入可得；
（Ⅱ）易得圓的圓心為（0，$\frac{a}{2}$），半徑為$\frac{|a|}{2}$，可得圓心到直線的距離d，由圓的弦長和半徑以及d的關系可得a的方程，解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）消去參數(shù)t可得直線l的普通方程為x+y-2=0，
∵圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ，即ρ²=aρsinθ，∴x²+y²=ay，
當a=2時，可得圓C的直角坐標方程為x²+y²=2y，
化為標準方程可得x²+（y-1）²=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得圓C的直角坐標方程為x²+（y-$\frac{a}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴圓心為（0，$\frac{a}{2}$），半徑為$\frac{|a|}{2}$，
∴圓心到直線l：x+y-2=0的距離d=$\frac{|\frac{a}{2}-2|}{\sqrt{2}}$，
∵直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的$\sqrt{2}$倍，
∴（$\frac{|a|}{2}$）²=（$\frac{|\frac{a}{2}-2|}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{\sqrt{2}a}{4}$）²，
解得a=2．

點評 本題考查參數(shù)方程和極坐標方程，涉及直線和圓的位置關系，屬中檔題．