Question

函數(shù)y=(

1

2

)3+2x-x2的定義域?yàn)?!--BA-->

R

，值域?yàn)?!--BA-->

[

1

16

，+∞ ）

．

Answer 1

分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)成立的x的取值范圍，而此題中，x取任意實(shí)數(shù)，函數(shù)都成立，所以定義域是R．
函數(shù)的值域是y的取值范圍，把指數(shù)看做一個(gè)整體，用u表示，則u是x的二次函數(shù)，y是u的指數(shù)函數(shù)，利用二次函數(shù)值域的求法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，就可得到復(fù)合函數(shù)y=(

1

2

)3+2x-x2的值域．

解答：解：∵不論函數(shù)y=(

1

2

)3+2x-x2中的x取何值，函數(shù)總有意義，∴函數(shù)y=(

1

2

)3+2x-x2的定義域?yàn)镽．
令u=3+2x-x²，則y=(

1

2

)u．
∵u=3+2x-x²=-（x-1）²+4，∴u∈（-∞，4]
∵函數(shù)y=(

1

2

)u為u的減函數(shù)，且u∈（-∞，4]
∴(

1

2

)u∈[

1

16

，+∞），即y∈[

1

16

，+∞），
∴函數(shù)的值域?yàn)閇

1

16

，+∞），
故答案為[

1

16

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)定義域和值域的求法，關(guān)鍵是尋找構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)．