Question

某工會(huì)舉辦職工猜獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者需先后回答A和B兩個(gè)問題，正確回答問題A可獲得獎(jiǎng)金m元，正確回答問題B可獲得獎(jiǎng)金n元（m，n∈N^*）．活動(dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答的順序，如果第一個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則該參與者獲獎(jiǎng)活動(dòng)中止．現(xiàn)假設(shè)職工甲回答問題A答對的概率為

1

4

，回答問題B答對的概率為

1

6

．
（Ⅰ）求職工甲按先A后B的順序回答問題獲得獎(jiǎng)金額的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)m和n，使得職工甲不管選擇哪種答題順序所獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望一樣？若存在，求出m和n的一組值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）職工甲按先A后B的順序回答問題獲得獎(jiǎng)金額X的可能取值為0，m，m+n，分別求出相應(yīng)的概率，能求出職工甲按先A后B的順序回答問題獲得獎(jiǎng)金額的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）設(shè)職工甲先B后A的順序回答問題獲得獎(jiǎng)金額為Y，則Y可能取值為0，n，m+n．求出EY，由EX=XY，能求出存在m=120，n=200，使得職工甲不管選擇哪種答題順序所獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望一樣．

解答： 解：（Ⅰ）職工甲按先A后B的順序回答問題獲得獎(jiǎng)金額X的可能取值為0，m，m+n，
P（X=0）=

3

4

，
P（X=m）=

1

4

×

5

6

=

5

24

，
P（X=m+n）=

1

4

×

1

6

=

1

24

，
∴X的分布列為：

X	0	m	m+n
P	3 4	5 24	1 24

EX=0×

3

4

+m×

5

24

+(m+n)×

1

24

=

6m+n

24

．
（Ⅱ）設(shè)職工甲先B后A的順序回答問題獲得獎(jiǎng)金額為Y，則Y可能取值為0，n，m+n．
P（Y=0）=

5

6

，
P（Y=n）=

1

6

×

3

4

=

1

8

，
P（Y=m+n）=

1

24

，
Y的分布列為：

Y	0	m	m+n
P	5 6	1 8	1 24

EY=0×

5

6

+m×

1

8

+(m+n)×

1

24

=

m+4n

24

，
若EX=XY，則6m+n=m+4n，即5m=3n，
∴存在m=120，n=200，使得職工甲不管選擇哪種答題順序所獲得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望一樣．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及其應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．