Question

已知函數(shù)f(x)=2asin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）當a=2時，在f（x）=0的條件下，求

cos2x

1+sin2x

的值．

Answer 1

分析：（I）a=1，化簡可得f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解
（II）a=2，化簡可得f（x）=2sinx-cosx=0?tanx=

1

2

，再把所求的值

cos2x

1+sin2x

結(jié)合二倍角公式、由“弦”化“切”的技巧化簡，把tanx=

1

2

代入求值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx-cosx（一個公式1分）（2分）
=

2

sin(x-

π

4

)（4分）
最小正周期為2π，（5分）
由x-

π

4

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

3π

4

(k∈Z)．（標注1分）（7分）
（Ⅱ）當f（x）=0時解得tanx=

1

2

（10分）

cos2x

1+sin2x

=

cos2x-sin2x

(cosx+sinx)2

（12分）
=

cosx-sinx

cosx+sinx

=

1-tanx

1+tanx

=

1

3

（14分）

點評：（I）主要考查了利用二倍角的正弦、余弦公式化簡三角函數(shù)，然后利用兩角差的正弦公式配成y=Asin（wx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解
（II）考查了二倍角公式的應用與由“弦：化”切“的技巧：分子分母同除以cosx（或sinx）