Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=-cos²x-2msinx+m²+2m的最小值是m的函數(shù)，記為g（m）．
（1）求g（m）的解析表達(dá)式；
（2）當(dāng)g（m）=5時(shí)，求m的值；
（3）如果方程f（x）=0在x∈（0，π）有兩不相等的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)f（x）進(jìn)行變形：f（x）=sin²x-2msinx+m²+2m-1，令t=sinx，則t∈[-1，1]，函數(shù)可變?yōu)閔（t）=t²-2mt+m²+2m-1=（t-m）²+2m-1，按對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置分三種情況討論即可求得g（0）；
（2）由（1）分三種情況解g（m）=5即可；
（3）方程f（x）=0在x∈（0，π）有兩不相等的解，等價(jià)于h（t）=t²-2mt+m²+2m-1=0在t∈（0，1）上有一解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（t）（0，1）上有一個(gè)零點(diǎn)，由此即可得到關(guān)于m的限制條件；

解答：解：（1）f（x）=sin²x-2msinx+m²+2m-1，
令t=sinx，則t∈[-1，1]，
則函數(shù)可變?yōu)閔（t）=t²-2mt+m²+2m-1=（t-m）²+2m-1，
圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為t=m，
①當(dāng)m＜-1時(shí)，g（m）=h（-1）=m²+4m；
②當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，g（m）=h（m）=2m-1；
③當(dāng)m＞1時(shí)，g（m）=h（1）=m²．
所以g（m）=

m2+4m，m＜-1 2m-1，-1≤m≤1 m2，m＞1

．
（2）當(dāng)g（m）=5時(shí)，
若m＜-1，有m²+4m=5，解得m=-5或m=1（舍）；
若-1≤m≤1，有2m-1=5，解得m=3（舍）；
若m＞1，有m²=5，解得m=

5

或-

5

（舍）；
綜上知，m=-5或m=

5

．
（3）方程f（x）=0在x∈（0，π）有兩不相等的解，由（1）知：等價(jià)于h（t）=t²-2mt+m²+2m-1=0在t∈（0，1）上有一解，
則

0＜m＜1 △=4m2-4(m2+2m-1)=0

或h（0）•h（1）＜0，即m=

1

2

或（m²+2m-1）m²＜0，所以m=

1

2

或-1-

2

＜m＜-1+

2

，且m≠0，
所以m的取值范圍為：m=

1

2

或m∈（-1-

2

，0）∪（0，-1+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題、分段函數(shù)求值及函數(shù)的零點(diǎn)，屬中檔題，本題具有一定綜合性，需要掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．