Question

已知函數(shù)f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（I）把a(bǔ)=1代入，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求f（2），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該點(diǎn)切線的斜率k=f′（2），從而求出切線方程．
（II）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值．

解答：解：
（I）解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

2x

x2+1

，f(2)=

4

5

．
又f′(x)=

2(x2+1)-2x.2x

(x2+1)2

=

2-2x2

(x2+1)2

，f′(2)=-

6

25

．
所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-

4

5

=-

6

25

(x-2)，即6x+25y-32=0．

（II）解：f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)

(x2+1)2

=

-2(x-a)(ax+1)

(x2+1)2

．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得到x1=-

1

a

，x2=a．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在區(qū)間(-∞，-

1

a

)，（a，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(-

1

a

，a)內(nèi)為增函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x1=-

1

a

處取得極小值f(-

1

a

)，且f(-

1

a

)=-a2．
函數(shù)f（x）在x₂=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，得到x1=a，x2=-

1

a

．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在區(qū)間（-∞，a），(-

1

a

，+∞)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間(a，-

1

a

)內(nèi)為減函數(shù)．
函數(shù)f（x）在x₁=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
函數(shù)f（x）在x2=-

1

a

處取得極小值f(-

1

a

)，且f(-

1

a

)=-a2．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法．