若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，證明：≤（）•（）．當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時等號成立．

 

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【解析】

試題分析：利用排序原理，n個式子相加，可得得：n（a1b1+a2b2+…+anbn）≤（a1+a2+…+an）（b1+b2+…+bn），兩邊除以n2，即可得到結(jié)論．

證明 不妨設a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn．

則由排序原理得：

a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn

a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1

a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an﹣1b1+anb2

…

a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn﹣1．

將上述n個式子相加，得：n（a1b1+a2b2+…+anbn）

≤（a1+a2+…+an）（b1+b2+…+bn）

上式兩邊除以n2，得：

≤

等號當且僅當a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時成立．

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