Question

【題目】已知，.

（1）當時，證明：；

（2）設(shè)直線是函數(shù)在點處的切線，若直線也與相切，求正整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）令，求導(dǎo)，可知單調(diào)遞增，且，，因而在上存在零點，在此取得最小值，再證最小值大于零即可.

（2）根據(jù)題意得到在點處的切線的方程①，再設(shè)直線與相切于點， 有，即，再求得在點處的切線直線的方程為 ②由①②可得，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為，，令，轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點，則只需，求解.

（1）證明：設(shè)，

則，單調(diào)遞增，且，，

因而在上存在零點，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而的最小值為.

所以，即.

（2），故，

故切線的方程為①

設(shè)直線與相切于點，注意到，

從而切線斜率為，

因此，

而，從而直線的方程也為 ②

由①②可知，

故，

由為正整數(shù)可知，，

所以，，

令，

則，

當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，從而在上無零點；

當時，要使得在上存在零點，則只需，，

因為為單調(diào)遞增函數(shù)，，

所以；

因為為單調(diào)遞增函數(shù)，且，

因此；

因為為整數(shù)，且，

所以.