Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；

（2）當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值的定義，得到關(guān)于a的方程，解出驗證即可；

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為只需證明，

令，對函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在原理進行求解即可.

解：（1），

由題意知 ，

又設(shè)

顯然當(dāng)時，，因此函數(shù)是增函數(shù)，

而，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，故符合題意；

（2）當(dāng)時，對于時，有，

即，

故要證明，只需證明，

令，即只需證明

則有，

設(shè)

則顯然當(dāng)時，，因此函數(shù)是增函數(shù)，

，

故存在，使得，即，

因此當(dāng)時，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，單調(diào)遞增，

所以有

又，∴，

設(shè)

則

單調(diào)遞減，

因此有

故，故

原不等式得證.