Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，=（2a，1），=（2b-c，cosC）且∥．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函數式的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據向量平行的充要條件列式：2b-c=2acosC，結合正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的誘導公式化簡整理，可得cosA=，從而得到sinA的值；
（II）將三角函數式用二倍角的余弦公式結合“切化弦”，化簡整理得sin（2C-），再根據A=算出C的范圍，得到sin（2C-）的取值范圍，最終得到原三角函數式的取值范圍．
解答：解：（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b-c），
根據正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形內角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=
∵A是三角形內角，
∴A=，得sinA=            …（5分）
（II）==2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴=sin（2C-），
∵A=，得C∈（0，），
∴2C-∈（-，），可得-＜sin（2C-）≤1，
∴-1＜sin（2C-），
即三角函數式的取值范圍是（-1，]．     …（11分）
點評：本題給出向量平行，通過列式化簡求A的大小，并求關于B的三角式的取值范圍．著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡、正弦定理和誘導公式等知識，屬于中檔題．