Question

設(shè)向量

a

=（2sin（x+

π

3

），-1），

b

=（2cosx，

3

），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）若2f（x）-m+1=0在[0，

3π

4

]內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．
（2）由已知可轉(zhuǎn)化為方程f（x）=

m-1

2

兩個(gè)相異的實(shí)根，即y=f（x）圖象與y=

m-1

2

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，有

3

≤

m-1

2

＜2或-2＜

m-1

2

≤-1，即可解得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=4sin（x+

π

3

）cosx-

3

…1分
=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

…2分
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）…4分
∴T=π…6分
（2）2f（x）-m+1=0在[0，

3π

4

]內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根，
即有方程：f（x）=

m-1

2

兩個(gè)相異的實(shí)根，
即y=f（x）圖象與y=

m-1

2

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，…8分
結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)

3

≤

m-1

2

＜2或-2＜

m-1

2

≤-1，
即m∈[2

3

+1，5）∪（-3，-1]時(shí)原方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，
故m∈[2

3

+1，5）∪（-3，-1]…13分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．