精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

對于在區(qū)間A上有意義的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意的x∈A，恒有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在A上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在A上是非接近的．
（1）證明：函數(shù) $數(shù)學公式$ 上是接近的；
（2）若函數(shù) $數(shù)學公式$ 上是接近的，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）證明：當 $\text{[math]}$
故f（x）與g（x）在[-1，1]上是接近的
（2）f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?對任意的x∈[a+2，a+3]，恒有
$\text{[math]}$ …①…②…③
由①②恒成立 $\text{[math]}$
③恒成立?-1≤log_n（x-a）（x-3a）≤1（x∈[a+2，a+3]） $\text{[math]}$
由0＜a＜1知2a＜a+2，故函數(shù)?（x）=（x-a）（x-3a）
在[a+2，a+3]上遞增，因此有
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
綜上所述得a的取值范圍是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）欲證明證明：函數(shù) $\text{[math]}$ 上是接近的；只須證明：當 $\text{[math]}$ 即可；
（2）由于f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?對任意的x∈[a+2，a+3]，恒有 $\text{[math]}$ 下面分別討論此三個不等式恒成立的條件即可得到a的取值范圍．
點評：本小題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，解題時要注意函數(shù)恒成立的充要條件的合理運用．

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[0，1]

．

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[2，3]

．

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（滿分14分）

對于在區(qū)間A上有意義的兩個函數(shù)，如果對任意的，恒有在A上是接近的，否則稱在A上是非接近的。