Question

若對(duì)?x∈[-1，1]，不等式x²+mx+3m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過(guò)y=x²+mx+3m，判斷開(kāi)口方向，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答： 解：∵y=x²+mx+3m，x∈[-1，1]，y＞0恒成立．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

m

2

，開(kāi)口向上，
①當(dāng)-

m

2

＜-1，即m＞2時(shí)，只需f（-1）＞0即可，
可得

m＞2 1-m+3m＞0

，解得m＞2．
②當(dāng)-

m

2

＞1，即m＜-2時(shí)，只需f（1）＞0即可，
可得

m＜-2 1+m+3m＞0

，解得m∈∅．
③當(dāng)-1≤-

m

2

≤1，即-2≤m≤2時(shí)，只需f（-

m

2

）＞0即可，
可得

-2≤m≤2 m2 4 - m2 2 +3m＞0

，解得0＜m≤2．
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題的求解，分類(lèi)討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，二次函數(shù)閉區(qū)間是的最值以及單調(diào)性的應(yīng)用．