Question

已知a，d∈R，d≠0，比較大�。�

(1)(a－d)³＋(a＋d)³，2a³；

(2)(a－3d)³＋(a＋3d)³，(a－d)³＋(a＋d)³．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：比較大小常采用的辦法是“作差法”，即：作差→變形(通分，有理化，因式分解等)→判斷差值的符號→得出結論． 　　解答(1)∵[(a－d)3＋(a＋d)3]－2a3 　　＝[(a－d)＋(a＋d)][(a－d)2－(a－d)(a＋d)＋(a＋d)2]－2a3 　�。�2a(a2＋3d2)－2a3 　　＝6ad2 　　∵a∈R，d∈R且d≠0∴d2＞0 　　∴當a＞0時，(a－d)3＋(a＋d)3＞2a3； 　　當a＝0時，(a－d)3＋(a＋d)3＝2a3； 　　當a＜0時，(a－d)3＋(a＋d)3＜2a3． 　　(2)∵[(a－3d)3＋(a＋3d)3]－[(a－d)3＋(a＋d)3] 　�。絒(a－3d)＋(a＋3d)][(a－3d)2－(a－3d)(a＋3d)＋(a＋3d)2]－(2a3＋6ad2) 　�。�(2a3＋54ad2)－(2a3＋6ad2) 　�。�48ad2 　　∵a，d∈R，d≠0 ∴d2＞0 　　∴當a＞0時 　　(a－3d)3＋(a＋3d)3＞(a－d)3＋(a＋d)3； 　　當a＝0時 　　(a－3d)3＋(a＋3d)3＝(a－d)3＋(a＋d)3； 　　當a＜0時 　　(a－3d)3＋(a＋3d)3＜(a－d)3＋(a＋d)3． 　　評析：本題在變形過程中，巧妙地運用了立方和(差)公式，完全平方公式，提高了解題效率．同時，注意到a－d，a，a＋d是等差數列，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d也是等差數列．由此，本題的結果也反映出等差數列一個性質：在等差數列與首末兩項等“距離”的兩項的立方和中，設首末兩項的等差中項為A，則A＞0時，靠兩端的立方和較大，靠中間的兩項的立方和較小；A＝0時，兩種立方和相等；A＜0時，靠兩端的立方和較小，靠中間的立方和較大．