Question

已知：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長(zhǎng)AA₁=2，
（1）E為棱CC₁的中點(diǎn)，求證：B₁D₁⊥AE；
（2）求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
（3）求：點(diǎn)D₁到平面EAB的距離．

Answer 1

解：（1）證明：連接A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁C₁，
∴A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁
∴B₁D₁⊥AE
（2）連接BD交AC于O，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AE交AE于F，連接OF
∵EC⊥平面AC在正方形ABCD中，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，∴AE⊥FO∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，BO=AO=AC=
在Rt△ACE中，AE=3，∵△AOF∽△AEC，
∴
∴OF==
在Rt△BOF中，tan∠BFO==3
（3）過(guò)C₁作C₁G⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于G，∵AB⊥平面BC₁，G₁G?平面BC₁，
∴AB⊥C₁G，∴C₁G⊥平面ABE，
∵D₁C₁∥AB，D₁C₁?平面ABE，
∴D₁C₁∥平面ABE，
∴D₁到平面ABE的距離等于C₁到平面ABE的距離
∵△C₁GE∽△BCE，
∴C₁G：C₁E=BC：BE，
∴C₁G==
∴D₁到面ABE的距離等于
分析：（1）連接A₁C₁，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征得到A₁C₁是AE在平面A₁C₁上的射影，進(jìn)而根據(jù)三垂線定理得到B₁D₁⊥AE．
（2）連接BD交AC于O，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AE交AE于F，連接OF，可得∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求出OF后，解三角形BOF即可，得到二面角B-AE-C的平面角
（3）過(guò)C₁作C₁G⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于G，可證得D₁C₁∥平面ABE，即D₁到平面ABE的距離等于C₁到平面ABE的距離，即C₁G長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可求出點(diǎn)D₁到平面EAB的距離
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，點(diǎn)到平面的距離，線線垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是用三垂線定理證明線線垂直，（2）的關(guān)鍵是確定∠BFO是二面角B-AE-C的平面角，（3）的關(guān)鍵是證得D₁到平面ABE的距離等于C₁到平面ABE的距離．