Question

【題目】已知非空集合是由一些函數(shù)組成，滿足如下性質(zhì)：①對任意，均存在反函數(shù)，且；②對任意，方程均有解；③對任意、，若函數(shù)為定義在上的一次函數(shù)，則.

（1）若，，均在集合中，求證：函數(shù)；

（2）若函數(shù)（）在集合中，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù)，求證：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得對一切，均有.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）見詳解；

【解析】

（1）由，根據(jù)性質(zhì)①可得，且存在，使得

，由，且為一次函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)③即可證明.

（2）由性質(zhì)②，方程，即在上有解，可得，

變形，.對與的關(guān)系分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可求解.

（3）任取，，由性質(zhì)①，不妨設(shè)，

（若，則，），

由性質(zhì)③函數(shù)，

由性質(zhì)①：，

由性質(zhì)③：

由性質(zhì)②方程：，可得，即，即可得證.

（1）由，根據(jù)性質(zhì)①可得，且存在，使得

，由，且為一次函數(shù)，

根據(jù)性質(zhì)③可得：.

（2）由性質(zhì)②，方程，即在上有解，，

由,

若，時(shí)，，且，

此時(shí)沒有反函數(shù)，即不滿足性質(zhì)①.

若，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)有反函數(shù)，

即滿足性質(zhì)①.

綜上：.

（3）任取，，由性質(zhì)①，不妨設(shè)，

（若，則，），

由性質(zhì)③函數(shù)，

由性質(zhì)①：，

由性質(zhì)③：

由性質(zhì)②方程：，

，即，

，可得，,

，可得，,

由此可知：對于任意兩個(gè)函數(shù)，，

存在相同的滿足：，

存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得對一切，均有.