Question

已知f(x)=

2 sinx

1+cos2x

，
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）當x∈[-π，π]時，畫出f（x）的簡圖，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中f(x)=

2 sinx

1+cos2x

，我們可以先求出函數(shù)的定義域A，驗證A是否關于原點對稱，若對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得到結論．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，我們結合正切函數(shù)的圖象及函數(shù)的對折變換及畫出當x∈[-π，π]時，畫出f（x）的簡圖，結合函數(shù)的圖象即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=

2 sinx

1+cos2x

的解析式可得
函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}關于原點對稱
又∵f(x)=

2 sinx

1+cos2x

=

sinx

|cosx|

∴f(-x)=

sin(-x)

|cos(-x)|

=-

sinx

|cosx|

=-f（x）
∴函數(shù)f(x)=

2 sinx

1+cos2x

為奇函數(shù)..（4分）
（2）由（1）可得f(x)=

tanx(- π 2 ＜x＜ π 2 ) -tanx(-π≤x＜- π 2 或 π 2 ＜x≤π)

其圖象如下圖所示：

由圖可知函數(shù)f(x)=

2 sinx

1+cos2x

在（-

π

2

，

π

2

）遞增，在[-π，-

π

2

）及（

π

2

，π]遞減

點評：本題考查的知識點是正切函數(shù)的圖象，函數(shù)奇偶性的判斷，正切函數(shù)的單調(diào)性，（1）中一定要先判斷函數(shù)的定義域A是否關于原點對稱，（2）中關鍵是要將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式．