Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，
證明：（x₀）＜0．

Answer 1

解：
（1） 單調(diào)增加，在單調(diào)減少.
（2）當(dāng).
故當(dāng)， 
（3）見解析。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解單調(diào)性和及證明不等式等知識(shí)的運(yùn)用。
（1）先求解然后求解
對(duì)于參數(shù)a分情況討論得到單調(diào)區(qū)間。
（2）構(gòu)造函數(shù)則其導(dǎo)數(shù)為

然后分析導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零的解即可。
（3）由（1）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故，從而的最大值為，這樣結(jié)合可知分析得到結(jié)論。
解：
（1） 
（i）若單調(diào)增加.
（ii）若且
所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少.  ………………4分
（2）設(shè)函數(shù)則
當(dāng).
故當(dāng)，   ………………8分
（3）由（1）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，
故，從而的最大值為不妨設(shè)由（2）得從而
由（I）知，   ………………12分