Question

若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值、總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的凸函數(shù) .

（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)是凸函數(shù)；

（2）設(shè)，并且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并判斷函數(shù)能否成為上的凸函數(shù)；

（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)滿足：①對任意的，；②，. 試求的解析式；并判斷所求的函數(shù)是不是R上的凸函數(shù)說明理由.

Answer 1

證明：（1）對任意x₁, x₂∈R, 當(dāng), 有=

                         =

∴當(dāng)時(shí)，，即

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)是凸函數(shù).

（2） 當(dāng)x=0時(shí), 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當(dāng)x∈(0, 1]時(shí), 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 當(dāng)=1時(shí), 取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是.

由此可知，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值恒為負(fù)數(shù)，由（1）可知函數(shù)f(x)是凸函數(shù)

（3）令則，∵ ，∴，

令，則，故；

若，則

；

若，則 ∴；∴時(shí)，.

綜上所述，對任意的，都有；

∵所以，不是R上的凸函數(shù).

對任意，有

，

所以，不是上的凸函數(shù).