求“方程(x+(x=1的解”有如下解題思路:設(shè)f(x)=(x+(x,則f(x)在R上單調(diào)遞減,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.類比上述解題思路,方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集為   
【答案】分析:類比求“方程(x+(x=1的解的解題思路,設(shè)f(x)=x3+x,利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)在R上單調(diào)遞增,從而根據(jù)原方程可得x2=x+2,解之即得方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集.
解答:解:類比上述解題思路,設(shè)f(x)=x3+x,由于f′(x)=3x2+1≥0,則f(x)在R上單調(diào)遞增,
由x6+x2=(x+2)3+(x+2)即(x23+x2=(x+2)3+(x+2),
∴x2=x+2,
解之得,x=-1或x=2.
所以方程x6+x2=(x+2)3+(x+2)的解集為{-1,2}.
故答案為:{-1,2}.
點評:本題主要考查了類比推理,考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知奇函數(shù)f(x)的定義域是R,且f(x)=f(1-x),當(dāng)0≤x≤
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時,f(x)=x-x2
(1)求證:f(x)是周期函數(shù);
(2)求f(x)在區(qū)間[1,2]上的解析式;
(3)求方程f(x)=log10000x的根的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx+a2(a,b∈R)
(1)若a∈{0,1,2,3},b∈{0,1,2,3},求方程f(x)=0有實數(shù)根的概率;
(2)若a從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取一個數(shù),b從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取一個數(shù),求方程f(x)=0有實數(shù)根的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的圖象在y軸上的截距為1,在相鄰最值點(x0,2),[x0+
3
2
,-2](x0>0)上f(x)分別取得最大值和最小值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)=a存在于[0,7/2]上的解的和,其中a為滿足-2<a<2的已知常數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•淮安模擬)某同學(xué)在求方程lgx=2-x的近似解(精確到0.1)時,設(shè)f(x)=lgx+x-2,發(fā)現(xiàn)f(1)<0,f(2)>0,他用“二分法”又取了4個值,通過計算得到方程的近似解為x≈1.8,那么他所取的4個值中的第二個值為
1.75
1.75

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在區(qū)間[-
2
3
π,π]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,當(dāng)x∈[-
2
3
π,
π
6
]時,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其圖象如圖所示.

(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)在[-
2
3
π,π]的表達式;
(Ⅱ)求方程f(x)=
2
的解;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)m的值,使得|f(x)-m|<2在x∈[-
3
,π]上恒成立;若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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