Question

已知函數(shù)f（x）=x²-bx+a²（a，b∈R）
（1）若a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2，3}，求方程f（x）=0有實數(shù)根的概率；
（2）若a從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0，2]內(nèi)任取一個數(shù)，求方程f（x）=0有實數(shù)根的概率．

Answer 1

分析：（1）設方程x²-bx+a²=0有實根為事件A，先求出數(shù)對（a，b）的個數(shù)，再由方程有根，必有△=b²-4a²≥0．及b≥2a，由此關(guān)系計數(shù)得出符合的數(shù)對（a，b）的個數(shù)，再由公式求出概率．
（2）此題是一個幾何概率模型，設方程x²-bx+a²=0有實根為事件B．先求出區(qū)域D={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}的面積，再求出程有實根對應區(qū)域為d={（a，b）|b≥2a}與區(qū)域D的公共部分的面積，再有公式P(B)=

Sd

SD

求出概率

解答：解：（1）設方程x²-bx+a²=0有實根為事件A．
數(shù)對（a，b）共有（0，0），（0，1）…（2，3），（3，2），（3，3）計16對
若方程有實根，則有△=b²-4a²≥0．及b≥2a
則滿足題意的數(shù)對（a，b）只有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3）計6對
所以方程有實根的概率P(A)=

6

16

=

3

8

（2）設方程x²-bx+a²=0有實根為事件B．D={（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，所以S_D=3×2=6
方程有實根對應區(qū)域為d={（a，b）|b≥2a}，Sd=

1

2

×1×2=1
所以方程有實根的概率P(B)=

Sd

SD

=

1

6

．

點評：本題考查等可能事件的概率，解題的關(guān)鍵是理解題意，得出（1）是一個古典概率模型問題，（2）中是一個幾何概率模型，由相應的公式計算出概率