Question

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬(wàn)元）對(duì)年銷售量y（單位：萬(wàn)件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用x，與年銷售量的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：

（1）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中 為大于0的常數(shù)）哪一個(gè)更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）.

（2）對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

15	15	28.25	56.5

根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（3）已知企業(yè)年利潤(rùn)z（單位：千萬(wàn)元）與，的關(guān)系為（其中…），根據(jù)（2）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下年的年利潤(rùn)最大，預(yù)計(jì)下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，

Answer 1

【答案】(1) 選擇回歸類型更適合；(2) (3) 預(yù)計(jì)下一年要投入0.4億元的研發(fā)費(fèi)用

【解析】

（1）由題意結(jié)合散點(diǎn)圖選擇合適的回歸方程即可；（2）結(jié)合所給的數(shù)據(jù)求解非線性回歸方程即可；（3）結(jié)合（2）中求得的回歸方程確定利潤(rùn)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

（1）由散點(diǎn)圖知，選擇回歸類型更適合

（2）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，即

由表中數(shù)據(jù)可得,

令，則，即

所以年銷售量y和年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程為

（3）由（2）知，

令 則,當(dāng)時(shí)取得最小值

所以當(dāng)千萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)z取最大值且最大值為千萬(wàn)元億元

故要使年利潤(rùn)取最大值，預(yù)計(jì)下一年要投入0.4億元的研發(fā)費(fèi)用