Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=|

x-a

x+2a

|
（1）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）是否存在a，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得g（a）的表達(dá)式；
（2）利用曲線y=f（x）在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，建立方程，從而可轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f(x)=

a-x

x+2a

；
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=

x-a

x+2a

．
∴x∈（0，a）時(shí)，f′（x）=

-3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；x＞a時(shí)，f′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增
①當(dāng)a≥4時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，4]上單調(diào)遞減，g（a）=f（0）=

1

2

．
②當(dāng)0＜a＜4時(shí)，則f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增，
又f（0）=f（4）=

a-1

2+a

，
∴0＜a≤1時(shí)，g（a）=f（4）=

4-a

4+2a

，
當(dāng)1＜a＜4時(shí)，g(a)=f(0)=

1

2

．
綜上所述，g(a)=

4-a 4+2a ，0＜a≤1 1 2 ，a＞1.

…（7分）
（2）由（1）知，當(dāng)a≥4時(shí)，則f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，故不滿足要求；當(dāng)0＜a＜4時(shí)，則f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增，
若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），
使曲線y=f（x）在（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），且f'（x₁）f'（x₂）=-1，即

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1亦即x1+2a=

3a

x2+2a

…..（*）
由x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），得x1+2a∈(2a，3a)，

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)
故（*）式成立等價(jià)于集合A=（2a，3a）與集合B=(

3a

4+2a

，1)的交集非空．
∵

3a

4+2a

＜3a，
∴當(dāng)且僅當(dāng)0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

時(shí)，A∩B≠∅．
綜上所述，存在a，使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直，且a的取值范圍是(0，

1

2

)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分類是關(guān)鍵．